トピックス
モンティ・ホール問題に関連して
このトビックスの欄でモンティ・ホール問題とベイズ推論の話が紹介されていた。懐かしかったので、ちょっとコメントしてみたい。
モンティ・ホール問題は、実は、弊所のランチョンミーティング（毎週水曜日に開かれているランチをつまみながらの勉強会）で、数年前に、ある弁理士が紹介したことがある。このときはベイズ推論の紹介はなく、単に直感が正解と異なる例として挙げられていた。なぜ扉の選択を変更すると当選確率が高まるのか、不思議に思った私は、Ｅｘｃｅｌのシートで、乱数を使って、実際にモンティ・ホール問題を作り、結果がどうなるか確認した。結果は、確かに扉を変更した方が正解になる確率は倍増した。
今回、この問題を解くための方法としてベイズ推論が紹介されていたが、ベイズ推論を使わずに正解に辿り着けないか、Ｅｘｃｅｌシートでの確認の後に、考えたので、それを紹介したい。
まず３つの扉があり、１つの扉の後ろに●（新車）があり、他の２つの扉の後ろに○（ヤギ）がいるとする。
選んだ扉が●（新車）であるとしよう。その後、司会者がどちらの扉を開けたとしても、扉の選択を変更すると、○（ヤギ）になる。つまりこのケースでは、新車●が得られる期待値は、
扉を変更する場合は０、扉を変更しない場合は１であり、もともと選んだ扉が●（新車）である確率は１／３なので、最初に扉を選択するときから計算したそれぞれの期待値は、
・扉を変更する場合は０×１／３、扉を変更しない場合は１×１／３である。
次に、選んだ扉が○（ヤギ）であったとしよう。その後、司会者が外れの扉をあけるので、扉の選択を変更すると、必ず●（新車）になる。つまりこのケースでは、新車●が得られる期待値は、
扉を変更する場合は１、扉を変更しない場合は０であり、もともと選んだ扉が○（ヤギ）である確率は２／３なので、最初に扉を選択するときから計算したそれぞれの期待値は、
・扉を変更する場合は１×２／３、扉を変更しない場合は０×２／３である。
以上の計算を縦横入替えて配列し、扉を変更した場合と変更しない場合に分けて整理して、期待値を求めると、以下の様になる。
最初が●新車 最初が○ヤギ 期待値
扉を変更しない １×１／３ ＋ ０×２／３ ＝ １／３
扉を変更する ０×１／３ ＋ １×２／３ ＝ ２／３
この考え方でも、一応正しい結論（扉の選択を変更した方が当選確率が倍増する）に辿りつける。
ところで、自分が１つの扉を選択した後で、司会者が扉を開けずに、「扉を変更しても構いません」と言った場合はどうなるだろうか。この場合、下線部、つまり扉の選択を変更すると必ず●になる、という前提が崩れ、扉の選択を変更すると●（新車）である確率は１／２となるので、●（新車）が得られる期待値は扉を変更してもしなくても変わらないことが確かめられる。
扉を変更した場合：（０×１／３＋（１×１／２）×２／３）＝１／３
ベイズ推論のように一般化できないので、スマートさには欠けるが、手持ちの知識でも正解に辿り着けることを示してみた。[ Ｔ．Ｓ ]
投稿日:2018年01月05日
